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Al comienzo de este blog econtrarás algunos ejercicios PROPUESTOS que iré resolviendo en los próximos días.

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viernes, 31 de julio de 2009

Tres DIVERTIMENTOS para el fin de semana ... Primero: de las unidades a las decenas ...

\de Unidades a Decenas\

Divertimento : Las matemáticas un lenguaje UNIVERSAL

Una amiga

una gran amiga !

una gringa más chilena que los porotos

(Alemana de Alemania !)

me preguntó cómo era que:


Antes me aclaró que ella se acordaba que:

(llamemos a este recuerdo Definición Fundamental)

-
Decía y era cierto "que no andaba tan perdida, que algo recordaba" .... pero que esa cosa de más arriba era CHINO mandarín ...
-
Primero le dije que si a lo que sabía agregábamos la definición de factorial y otra Propiedad de las Potencias (Potencia de Potencia), era suficiente para entender por qué 64 se podía escribir de esa forma tan churumbélica ...

-
1) Veamos lo que es el factorial:


Se define el factorial como sigue:


n ! = n x (n-1) x (n-2) x ...... x 5 x 4 x 3 x 2 x 1


n ! se lee como "ene factorial" y con unos ejemplos queda muy fácil ...


6 ! = 6 x 5 x 4 3 x 2 x 1 = 720
5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24, etc.


2) Veamos la Propiedad Potencia de una Potencia:


La nueva potencia esta elevada al producto de los dos exponentes .... sigamos
=========================

Trabajemos entonces la expresión china de la izquierda, un poquito ....

Luego sigamos, usemos lo que recordamos (Potencia de Potencia y Factorial):


Queda demostrado entonces que 64 se puede escribir de esa forma tan alambicada ...
Estamos de acuerdo con la "Alemana Salvaje", o sea es que las matemáticas son quizás el único lenguaje universal ....
-
En otras cosas no estoy (estamos) de acuerdo con ella:
-
en como se escribe su apellido
-

en como suena el ladrido de los perros, ella dice que DRUF-DRUF, naquembeque!, ta más perdida, NO puede ser, por eso no nos entendemos con el 1er. mundo! ....

suena "GUAU-GUAU" o si no mi mamá me engañó a los 3 años!

-
y en como se come un helado PANDA en la calle !
-

En matemáticas ella es chilena y yo italiano! (ó Alemán)

Un jueguito para cuando uno va a un resto-bar

Desafío - Probabilidad

En un juego se tienen 4 fichas como las siguientes:

Se tiran dos dados y se suman los puntajes; la ficha ganadora es aquella que contenga esta suma.

¿Cuál de estas fichas tiene mayor probabilidad de ganar?

A) la 1
B) la 2
C) la 3
D) la 4
E) Todas tienen igual probabilidad de ganar.

Respuesta:

Revisemos la matriz de resultados con los pares ordenados (primer dado, segundo dado)

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Si analizamos todos los resultados, podemos ver todos los casos en cada una de las sumas posibles. OJO que no puede haber suma 1, porque al menos en los dos dados salen un 1 y otro 1, o sea el par (1,1):

Suma 2: (1,1) : 1 caso

Suma 3: (1,2) (2,1) : 2 casos

Suma 4 : (1,3) (2,2) (3,1) : 3 casos

Suma 5 : (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) : 4 casos

Suma 6 : (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) : 5 casos

Suma 7 : (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) : 6 casos

Suma 8 : (2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2) : 5 casos

Suma 9 : (3,6) (4,5) (5,4) (6,3) : 4 casos

Suma 10 : (4,6) (5,5) (6,4) : 3 casos

Suma 11 : (5,6) (6,5) : 2 casos

Suma 12 : (6,6) : 1 caso

Nótese que: 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36 (los casos totales)

Así para cada una de las fichas:

Ficha sumas 1,3,5 : 2+4 = 6 casos

Ficha sumas 2,4,8 : 1+3+5 = 9 casos

Ficha sumas 6,9,10 : 5+4+3 = 12 casos

Ficha sumas 7,11,12: 6+2+1 = 9 casos

La ficha que tiene más altas posibilidades es la de sumas: 6,9,10 (Ficha 3), alternativa C)

=====+++++=====+++++
Fuente: Matemática 2do. medio - Cid Figueroa E.
NEM: segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.
CMO: Probailidad, Ley de Lpalace, Juegos Azar Sencillos.

Desafío - Triángulo de Pascal


Utilizando el triángulo de Pascal, determina cuántos casos hay en que al ser lanzada una moneda 6 veces aparezcan 4 caras y 2 sellos.

A) 1
B) 6
C) 15
D) 20
E) 64

Respuesta:
El triángulo de Pascal fue estudiado mucho antes que Pascal por el Italiano Nicolás Tartaglia (1500-1557). Lleva el nombre de Pascal por la proyección que le dió este matemático en en cálculo de las probabilidades.
Este triángulo se relaciona con el lanzamiento de una moneda n veces. En la fila 4 (n=4) resume las posibilidades cuando se lanza una moneda 4 veces .... En la fila 6, se resumen todas las posibilidades caudno se lanza una moneda 6 veces ...
Veamos los números de la fila 4: 1 - 4 - 6 - 4 - 1
¿ Cómo interpretar estos números ?
1 : se asocia a la salida de 4 caras: CCCC
4 : se asocia a la salida de 3 caras y un sello: CCCS, CCSC, CSCC, SCCC
6 : se asocia a la salida de 2 caras y 2 sellos: CCSS, CSCS, CSSC, SSCC, SCSC, SCCS
4 : se asocia a la salida de 1 cara y 3 sellos: CSSS, SCSS, SSCS, SSSC
1 : se asocia a la salida de 4 sellos: SSSS
De igual forma, al lanzar 6 veces una misma moneda, los números de la fila 6 son:
1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1
Y se interpretan:
1 vez : 6 caras.
6 veces : 5 caras y 1 sello.
15 veces : 4 caras, 2 sellos.
20 veces : 3 caras, 3 sellos.
15 veces : 2 caras, 4 sellos.
6 veces : 1 cara, 5 sellos.
1 vez : 6 sellos.
Alternativa C)

Fuente: Matemática 2do. medio - Cid Figueroa E.
NEM: segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.
CMO: Probabilidad y Triángulo de Pascal

Desafío - Probabilidad


Al ordenar las cajas de mayor a menor según la probabilidad de extraer una ficha verde, resulta:

A) I - II - III
B) II - I - III
C) III - I - II
D) II - III - I
E) I - III - II

Respuesta:
Caja I : PROBABILIDAD DE verde: 3/4 = 0,75
Caja II : PROBABILIDAD DE verde: 3/5 = 0,6
Caja III : PROBABILIDAD DE verde: 4/6 = 2/3 = 0,666666....
Mayor: Caja 1
Medio: Caja 3
Menor: Caja 2
I - III - II , Alternativa E)

==================================
Fuente: Matemática 2do. medio - Cid Figueroa E.
NEM: segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.
CMO: Juegos de Azar Sencillos, Ley de Laplace.

Desafío - Probabilidades

Si se tiran dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que las puntuaciones difieran en 1?

A) 5/12
B) 5/36
C) 10/12
D) 10/36
E) 1/6

Respuesta: Pensemos que ponemos en un par ordenado, los resultados de la siguiente manera:

(resultado primer dado, resultado segundo dado)

Vamos a escribir todos los posibles pares ordenados: OJO que hay 36 posibilidades TOTALES

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Señalados en AZUL y ROJO están las 10 combinaciones en que la diferencia entre los dados es 1.

Probabilidad pedida = 10 / 36 = 5 /18

Alternativa D)

Fuente: Matemática 2do. medio - Cid Figueroa E.
NEM: segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.
CMO: Juegos de Azar Sencillos, Ley de Laplace.

jueves, 30 de julio de 2009

Desafío - Potencias


Respuesta:


=========================
Fuente: Santillana - Primero Medio.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 1. Números.
CMO: e. Potencias.

Desafío - Potencias


Respuesta:

=========================
Fuente: Santillana - Primero Medio.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 1. Números.
CMO: e. Potencias.

Desafío - Potencias


Respuesta:

=========================
Fuente: Santillana - Primero Medio.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 1. Números.
CMO: e. Potencias.

Desafío - Sistema de Ecuaciones


¿ Cuál de los siguientes grafos representa mejor el anterior Sistema?


Respuesta:

Por la definición de módulo de un número tenemos que:

Grafiquemos ahora la otra función: x-y=2

Trasponiendo y:

x-2 = y

y = x-2
Y si comparamos con y= mx + n

Vemos que la oendiente de la recta es +1, es decir la pendiente es positiva.

Por otra parte, el Y-Intercepto = n = -2

Es decir corta al aje Y a la altura de -2.

La gráfica es similar a esta:
Luego, la alternativa que muestra mejor esto es la alternativa D)
==================================
Fuente: Matemática 2do. Medio - Cid Figueroa E.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas.

Desafío - Sistema de Ecuaciones


La solución del sistema es:

A) (6,2)
B) (2,6)
C) (1,6)
D) (3,4)
E) No tiene solución.

Respuesta:
Paso 1) Multiplicamos la primera ecuación por 6:
6(x/3) + 6(y/2) = 6(3)
2x + 3y = 18
Paso 2) Multiplicamos la segunda ecuación por 2:
2(x/2) + 2(y/2) = 2(4)
x + y=8
Paso 3) Despejamos de la segunda, y:
y = 8 - x
Paso 4) Sustitumos en ecuación 1 modificada:
2x + 3(8-x) = 18
2x + 24 - 3x = 18
2x-3x = 18-24
-x = -6
x=6
y = 8-x = 8-6 = 2
El par ordenado es: (6,2)
Alternativa A)
Nota: Los pasos 3) y 4) se conocen como Método de Sustitución, en la resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con Dos Incógnitas.

Fuente: Matemática 2do. Medio - Cid Figueroa E.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas.

Desafío - Ecuación (Incógnita en Denominador)


La solución de la Ecuación:

A) 0
B) -2/5
C) 2/5
D) 5/2
E) -5/2
Respuesta: El denominador del término de la derecha se puede expresar como una suma por diferencia:

Luego, la expresión (x+1)(x-1) contiene todos los factores que se encuentran en los tres denominadores. Multplicamos la ecuación por esta expresión y seguimos:

Alternativa B)

Fuente: Matemática 2do. Medio - Cid Figueroa E.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 1. Lenguaje Algebraico
CMO: a. Expresiones algebraicas fraccionarias, con binomios o productos notables en el numerador y en el denominador.

Desafío - Cuadrado Mágico


¿Cuánto debe ser el valor de "n" para que la figura corresponda a un cuadrado mágico ?

A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8

Respuesta: Los cuadrados mágicos se caracterizan porque los terminos de cada columna, cada fila y cada diagonal suman lo mismo .... Así, los términos de la fila superior debe sumar lo mismo que los términos de la diagonal.
Términos de la Fila Superior: 1/2 , 1/3 , 1/n
Términos de la Diagonal: 1/n , 2/ n , 3/n
De la igualdad de las sumas de los términos de la fila superior y los términos de la diagonal sale una ecuación para n.
1/2 + 1/3 + 1/n = 1/n + 2/n + 3/n
(se elimina a ambos lados el término 1/n)
1/2 + 1/3 = 2/n + 3/n
(3+2)/6 = (2+3)/n
5/6 = 5/n
n = 6
Alternativa D)

Fuente: Matemática 2do. Medio - Cid Figueroa E.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 1. Números.
CMO: Resolución de desafíos y problemas numéricos tales como cuadrados mágicos.

miércoles, 29 de julio de 2009

Un desafío hecho a mano - Raíces

Respuesta:



Fuente: Cuaderno Matemática - 3ro. Medio - Preu P.Valdivia - Mare Nostrum
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático:I. Álgebra y Funciones. 1. Álgebra.
CMO: Raíces Cuadradas.

No todo es estudio - Cuerpos Pintados

Desafío - Porcentaje


Respuesta:
Pág. Geometría = 20 % de 40 = (1/5)(40) = 8
Pág. Álgebra = 10 % de 40 = (1/10)(40) = 4
Pag. Astronomía + Pag. Geometría + Pág. Álgebra = 40
Pag. Atronomía + 8 + 4 = 40
Pág. Astronomía + 12 = 40
Pág. Astronomía = 40 - 12 = 28
Alternativa E)
Fuente: DEMRE - 2005

Desafío - Porcentaje


Respuesta:


Aumenta en 3 Kg. que se corroboran porcentualmente respecto del peso ORIGINAL:

15 Kg se asocia a 100 %
3 Kg se asocia a x %

Sabemos que hay Proporcionalidad directa entre cantidades y sus porcentajes, entonces, si hay directa proporcionalidad, los cuocientes entre los Kg y su porcentaje asociado son una misma constante, en cada uno de los casos, esto nos permite igualar:

15/100 = 3/x

Despejamos, multiplicando cruzado, usando la propiedad fundamental de las proporciones:

15(x) = 3(100)
x = 300/15 = 20 %



==================
Fuente: DEMRE - 2005.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 2. Proporcionalidad.
CMO: Porcentaje.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

A un evento asistieron 56 personas. Si habían 4 mujeres por cada 3 hombres, ¿Cuántas mujeres asistieron al evento ?

A) 8
B) 21
C) 24
D) 28
E) 32

Respuesta: Este problema nos conducirá a un Sistema de Ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Las dos incógnitas naturales que sugiere el problema son la cantidad de Mujeres (M) y la cantidad de Hombres (H) ....

"A un evento asistieron 56 personas" (entre hombres y mujeres) sugiere la ecuación:

(1) M + H = 56

"Habían 4 mujeres por cada 3 hombres" sugiere la ecuación (proporción):

(2) M/H = 4/3

Despejando en esta segunda ecuación:

Primero multiolicamos cruzado: 3M = 4H

H = (3M)/4, sustituyendo en la (1) ecuación:

M + (3M)/4 = 56

Multiplicamos la ecuación por 4:

4M + 3M = 224

7M = 224

M = 224/7 = 32

Alternativa E)

Fuente: DEMRE - 2005
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas

Desafío - Potencias

Respuesta:

En este ejercicio hay que recordar el protocolo que nos entrega Qué Operaciones hacer primero.
Siempre se hacen primero los paréntesis (que en este caso no hay)
Luego se hacen las Potencias.
Mas tarde las Multiplicaciones y Divisiones
Finalmente las Aduciones y Sustracciones.

Esto lo recirdamos con la regla nemotécnica: PAPOMUDAS

Veamos esta regla en cada caso:

En I) Primero se hacen las potencias, luego se suma.

En II) Primero se hacen las potencias, luego las multiplicaciones, al final se resta.

(Nota: En el caso de este cálculo, hice simultáneamente las potencias y las multiplicaciones, tuve en cuenta que cualquier número elevado a cero es 1, excepto 0)

En III) Primero se hacen las potencias y al final se resta.

Ahora, teniendo esto en claro, calculemos:

Alternativa D), las tres: I, II y III son verdaderas ....
=================
Fuente: DEMRE - 2005
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: Números y Prporcionalidad. 1. Números.
CMO: Potencias de base psitiva y exponente entero.

martes, 28 de julio de 2009

Desafío - Potencias

El valor de la expresión es:



Respuesta:

En el numerador se puede factorizar (sacar factor común): factorar por 6 elevado a 6.

En el denominador se puede factorizar por 3 elevado a 3.



Alternativa E)

Fuente: Santillana - 1ro. Medio
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 1. Lenguaje Algebraico.
CMO: División de Potencias.

Desafío - Conjuntos Numéricos

¿ Cuál de las altermativas es falsa ?


Respuesta: Primero debemos saber que es un número Irracional (Wikipedia):

En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción m/n, donde m y n son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible.

Son Irracionales números como Pi, e, raíz de 2, raíz de 3, la suma de estas dos raíces, etc.

Si miramos la estructura de los Conjuntos Numéricos:


Podemos ver que TODA Fracción es un número REAL.

Entonces vemos que la única alternativa que nos queda es la D), la D) es falsa, veamos:

Raiz de 324 es igual a 18.

Entonces es posible poner:

La FLASA es la Alternativa D)

Fuente: Santillana - 1ro. Medio.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 1. Números.
CMO: a. Distinción entre números Racionales e Irracionales.

Desafío - Simetría

El simétrico de P(-1,3) con respecto al eje OX es:

A) (-1,-3)
B) (-1,3)
C) (1,-3)
D) (1,3)
E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta: El eje OX será el eje de simetría, actúa como si fuera un espejo ....

el punto (-1,3) se refleja en (-1, -3), como se muestra en la figura ....
El punto (-1, 3) se refleja en la línea vertical en que está, la misma distancia de 3 unidades, que lo separan del eje OX.

Fuente: Santillana - 1ro. Medio
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría. 2. Transformaciones.
CMO: Simetría Axial.

Desafío - Traslación

El punto (1,4) se transformó en el punto (-3,6) mediante una traslación del vector:

A) (-4,-2)
B) (-4,2)
C) (-2,4)
D) (0,1)
E) (4,2)

Respuesta: Vectorialmente una traslación se entiende de la siguiente forma:

Se toma el punto a trasladar, se le aplica la tralación, encontramos un punto que corresponde al original traldado.

Punto Original + Vector Traslación = Punto Trasladado

Esta es una ecuación para las coordenadas del Vector Taslación:

(1, 4) + Vector Traslación = (-3, 6)

Definiendo el Vector Traslación como: (X, Y), entonces:

(1, 4) + (X, Y) = (-3, 6)

(X, Y) = (-3, 6) - (1, 4)

(X,Y) = (-3-1, 6 - 4)

(X,Y) = (-4, 2)


Alternativa B)

Fuente: Santillana - 1ro. Medio
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría. 2. Transformaciones.
CMO: Traslaciones

Aprender jugando ... no todo es estudio

Desafío - Suficiencia de Datos

Se puede determinar
si se sabe que:

(1) Trazo AB = Trazo BC.
(2) ABCD es un cuadrado.

A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.

Respuesta: Analicemos cada una de las proposiciones (1) y (2):

(1) Que nos digan que trazo AB es igual a trazo BC NO quiere decir que entre ellos formen un ángulo Recto. Si no lo forman, esto nos imposibilita -con este dato- saber las tres cantidades pedidas.

(2) Si ABCD es un cuadrado, sabemos que la diagonal forma un ángulo de 45º, con lo que las razones trigonométricas pedidas están determinadas TOTALMENTE .... Nos basta con esta información ....

Alternativa B): (2) por sí sola ....

Repasemos: Las tres funciones pedidas para el ángulo de 45 grados. Por pitágoras, si el cuadrado es unitario (lado 1), la hipotenusa será raiz de 2. Veamos:


Fuente:
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Razones Trigonométricas.

Desafío - Funciones

Dada la función de IR a IR:

la imagen de x+h es igual a:

Respuesta:

Alternativa C)

Fuente: Cuaderno Trabajo PSU Matemáticas 3ro. Medio - Mare Nostrum y Preu. P. Valdivia
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Funciones.

Desafío - Trigonometría

Calcular el valor de la expresión:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Respuesta: Para saber el valor de esta expresión, debemos saber cuanto vale su numerador y su denominador.

El valor del numerador es MUY sencillo, vale 1 (uno). Esto porque sabemos que la suma del seno al cuadrado de de cualquier ángulo más su coseno al cuadrado es 1 (uno). NO IMPORTA cuan raro es el ángulo en cuestión (ponen incluso algo muy extraño como 72,6 º) ... la expresión de a continuación es una identidad FUNDAMENTAL que se cumple para cualquier ángulo:

Luego nos queda saber el valor del denominador, pero esto es posible porque el ángulo es uno muy especial .... 30º

Sen 30 º = (a/2) / a = 1/2

Luego el valor de la Expresión pedida es:


Alternativa E)

======================

Fuente: Cuaderno Trabajo PSU Matemáticas 3ro. Medio - Mare Nostrum y Preu. P. Valdivia

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: II Geometría.

CMO: Trigonometría. Razón Trigonométrica, Razón Trigonométrica de Ángulos Especiales, Indetidad Trigonométrica

Desafío - Razón trigonométrica

A) 13/12
B) 12/13
C) 5/13
D) 5/12
E) 12/5

Respuesta:

Usando el Teorema (Particular) de Pitágoras, calculamos la hipotenusa del triángulo Rectángulo que posee los catetos de 3 y 4 unidades.




Esto además lo corroboramos porque los números: 3, 4, 5 son una terna o triada pitagórica.

Nuevamente usamdo el Teorema (Particular) de Pitágoras, calculamos el cateto que falta, del otro triángulo Rectángulo de Hipotenusa 13 y cateto 5, procedemos de forma semejante a lo anterior, claro que ahora con el triángulo Rectángulo que hemos destacdo con color celeste.

Teniendo cateto opuesto al ángulo en cuestión y la hipotenusa podemos tener el seno del ángulo alfa:Respuesta: Alternativa B)

=====

Fuente: Cuaderno Trabajo PSU Matemáticas 3ro. Medio - Mare Nostrum y Preu. P. Valdivia
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II Geometría.
CMO: Trigonometría. Razón Trigonométrica en Triángulos Rectángulos.