Desafío - Ecuaciones

En una caja hay al menos 1 billete de cada uno de los siguientes valores: $ 1.000, $ 2.000, $ 5.000 y $ 10.000. Se sabe que hay tantos billetes de 1.000 pesos como billetes de 5.000 pesos. Se sabe que hay tanta plata en billetes de 1.000 pesos como en billetes de 2.000 pesos. La totalidad de billetes suma 24.000 pesos.

¿ Cuáles de las siguientes alternativas son verdaderas ?

I) Hay 6 billetes en total.
II) Hay tanta plata en billetes de a 5.000 como en billetes de 10.000.
III) Hay tantos billetes de 5.000 como de a 1.000 pesos.

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II, III

Respuesta: Llamaremos:


n1 : a la cantidad de billetes de 1.000
n2 : a la cantidad de billetes de 2.000
n5 : a la cantidad de billetes de 5.000
n10 : a la cantidad de billetes de 10.000


Sabemos que hay al menos uno de cada billete. Y que sólo puede haber 1 billete de 10.000, pues si hubiesen 2 de ellos, totalizarían 20.000 pesos y NO podría haber uno, al menos, de 5.000.


Luego: n10 = 1


Además, por el enunciado: 


a) n1 = n5 (Hay tantos billetes de 1.000 como de 5.000)
b) 1.000(n1) = 2.000(n2) (Hay tanta plata en billetes de 1.000 como de 2.000)
Simplificando b)
b') n1 = 2 n2


c) Y todos los billetes deben totalizar 24.000:


1.000n1 + 2.000(n2) + 5.000(n5) + 10.000(1) = 24.000
dividiendo por 1.000 toda la ecuación (a ambos lados)
n1 + 2(n2) + 5(n5) = 24 - 10 = 14


Ponemos todo en función de n1:


n1+ n1 + 5(n1) = 14
7(n1) = 14
n1 = 2


Luego: 


n1 = 2
n2 = 1
n5 = 2
n10=1


Así:


I) VERDADERA, hay 6 billetes: 2+1+2+1
II) VERDADERA: 10.000 en ambos tipos de billetes.
III) VERDADERA, hay 2 billetes de 1.000 y dos de 5.000.


I, II, III Verdaderas, Alternativa E)

Fuente: Modificación personal de ejercicio del PreU. U. Chile
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.
CMO: Ecuaciones.