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A la fecha llevamos más de 3.470 ejercicios resueltos.

Al comienzo de este blog econtrarás algunos ejercicios PROPUESTOS que iré resolviendo en los próximos días.

Si avanzas hacia abajo en el blog, encontrarás el vínculo: "entradas antiguas", haz click sobre él y te llevará a revisar otro set de ejercicios resueltos de anterior data, hasta completar los más de 3.400 ejercicios resueltos,

¡anímate!

jueves, 31 de marzo de 2011

Desafío - Reflexión


¿ Cuál es la imagen del punto P (-6,7) luego de aplicarle una reflexión con respecto al eje X ?

A) P' (-6,-7)
B) P' (6, -7)
C) P' (6,7)
D) P' (7,-6)
E) P' (7,6)

Respuesta: Desdel el Punto P, trazamos una recta (o trazo en este dibujo) perpendicular al eje de abcisas (Eje X = Eje OX), Luego con centro en el punto de corte, en el eje de Abcisas y radio 7, trazamos una semicircunferencia que corta a la recta en P'. Veamos:


Alternativa A)

Fuente: Santillana 1ro. Medio - Bicentenario.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Reflexión. Transformación Isométrica.

Desafío - Transformación Isométrica


¿ Cuáles son las coordenadas de la imagen A' del punto A (8,-3)
si es reflejado respecto del origen ?

A) A' (-3,8)
B) A' (3,-8)
C) A' (-8,3)
D) A' (-8,-3)
E) A' (8,3)

Respuesta:
Trazamos un recta (o trazo) que pase por el origen y se proyecte al segundo cuadrante. Con centro en O (0,0), trazamos semicircunferencia (radio OA, cento en O(0,0)) que corta a la anterior recta (trazo) justo en A', que es (-8,3).

Alternativa C)

Fuente: Santillana 1ro. Medio - Bicentenario
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Geometría planar, Transformaciones Isométricas.

Desafío - Logaritmos



La expresión anterior es equivalente a:

A) -1
B) 0
C) 2
D) 3
E) 6

Respuesta: trabajamos cada uno de los logaritmos de la expresión, luego calculamos la expresión pedida:

Respuesta Correcta: Alternativa D)

Fuente: Santillana 2do. Medio - Bicentenario
NEM: Cuarto Medio (Currículm no ajustado)
Eje Temático: I. älgebra y Funciones.
CMO: Logaritmos. Cambio de Base.

Desafío - Logaritmos


Respuesta: Lo que hay que hacer en este ejercicio es practicar un cambio de base (ver link final al Diccio-Mates). Pasar a base 10 (logaritmo de Briggs).

Luego expresar 18 como (9x2), y escribir 9 como la potencia cuadrada de 3.

También, en el denominador hay que cambiar 8 como la potencia cúbica de 2; y

tanto en denominador como en denominador aplicar las propiedades de logaritmo, en este caso, la propiedad del logaritmo de un producto (en el numerador) y la propiedad del logaritmo de una potencia (tanto en el numerador como en el denominador).

Alternativa D)

Fuente: Santillana 2do. Medio - Bicentenario
NEM: Cuarto Medio (Currículm no ajustado)
Eje Temático: I. älgebra y Funciones.
CMO: Logaritmos. Cambio de Base.
==========
Link al Diccio-Mates:
Materia: Cambio de Base en Logaritmos

Desafío - Ecuación Exponencial



A) - ln 3
B) ln 2
C) ln 2 + ln 3
D) ln 2 - 2 ln 3
E) ln 2 + 2 ln3

Respuesta: Acá deberemos aplicar logaritmos naturales o en base "e":
Alternativa D)

Fuente: Santillana 2do. Medio - Bicentenario.
NEM: Cuarto Medio (currículum no ajustado)
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Ecuación Exponencial.

miércoles, 30 de marzo de 2011

Desafío - Ángulos en la Circunferencia




En la figura, la recta CE es tangente a la circunferencia de centro O en el punto D. Si el ángulo ADE mide 70º, entonces la medida del ángulo ACD es:

A) 55º
B) 50º
C) 45º
D) 40º
E) 35º

Respuesta:

Entonces hemos recordado que: "La medida del ángulo exterior de una circunferencia equivale a la semidiferencia de las medidas angulares de los arcos que dicho ángulo intersecta en la circunferencia". (Tomado del Manual PSU - U.Católica).

Alternativa B)

Fuente: Manual PSU - U.Católica
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Ángulos en la Circunferencia.

martes, 29 de marzo de 2011

Desafío - Ecuaciones Radicales


En la Ecuación
¿Cuál es el valor de x, si se sabe que a es distinto de cero?

A) 2
B) -2
C) 1
D) 0
E) NO hay solución en los Números Reales.

Respuesta: Verifiquemos que la correcta es la alternativa D)

Fuente: Santillana 2do. Medio - Bicentenario.
NEM: Tercero Medio - Currículum no actualizado.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Ecuaciones Radicales.

lunes, 28 de marzo de 2011

Desafío - Área de sector en el Círculo

Respuesta: La alternativa que tiene la correcta solución es B), y veamos por qué?

Fuente: CEPECH 2007
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Ángulos en la Circunferencia.

Desafío - Probabilidades


La estructura de caminos anterior, está dispuesta como plano inclinado. Por esta estructura de caminos se deja deslizar una bolita. Suponiendo que la bolita no está cargada y los caminos poseen igual rugosidad e inclinación ¿Cuál es la probabilidad de que la bolita llegue al punto A ?

A) 1/2
B) 1/4
C) 1/3
D) 1/5
E) No se puede calcular.

Respuesta: Veremos tres formas de pensar este ejercicio:

Primera forma de pensar)

Como la bolita es completamente homogénea, en cada bifurcación tiene probabilidad (1/2) de escoger alguno de los caminos que se le abren. Así, en la primera bifurcación, tiene probabilidad (1/2) de ir a la derecha y (1/2) de ir a la izquierda.

Luego, tomado cualquiera de los dos caminos, tiene nuevamente probabilidad (1/2) de ir por cualquiera de los caminos que nuevamente se ofrecen:

Que la bola tome el camino de la izquierda, en la primera bifurcación (primer suceso) y luego en
la segunda bifurcación vuelva a tomar el camino de la izquierda (segundo suceso), son sucesos INDEPENDIENTES, por tanto, que sucedan ambas cosas es el producto (1/2) x (1/2) = 1/4

La probabilidad final será la suma de las probabilidades 1/4 y 1/4 = 1/2

Segunda forma de pensar)

La otra forma de visualizar este ejercicio es pensar con ayuda del método hidráulico. Pensamos en que tenemos "un litro" de "FLUIDO PROBABILISTICO" y la regla -dada las condiciones de simetría del problema- es que en cada bifurcación, el líqudio que llega se reparte en dos porciones iguales, veámoslo en el siguiente esquema:


Fíjate que el fluido probabilístico final suma "1 litro", el litro que se reparte inicialmente. En "A" hay 1/4 + 1/4 = 1/2 = 50 %.

Tercera forma de pensar)

Pensemos en que a la entrada tenemos 4 pelotas .... y estas se van a ir repartiendo por mitades .... así luego de la primera bifurcación, habrán 2 pelotas en cada camino .... más tarde, las dos se dividirán en una para cada una de las bifurcaciones del segundo nivel. Así, al punto "A" llegan 2 de las cuatro pelotas originales ..... eso es un 50 % del total, la probabilidad es un 50 %.

Por tanto, por las tres formas de pensar, la probabilidad de estar en "A" es del 50%, o 0,5.

Fuente: 2do. Medio - Gonzalo Riera.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Probabilidad.

Desafío - Lanzamiento de 2 dados


Se lanzan dos dados, cuál es la probabilidad de que la suma sea 7.

A) 7/36
B) 1/2
C) 1/6
D) 1/4
E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

En el lanzamiento del primer dado tenemos 6 posibilidades.
En el lanzamiento del segundo dado tenemos otras 6 posibilidades.
Hay un total de 6 x 6 posibilidades totales, por el principio multiplicativo.

Formemos gráficamete todas las combinaciones posibles que suman 7, al lanzar dos dados:

Hay 6 casos favorables de un total de 36 posibles:

6/36 = 1/6 ;Alternativa C)

Fuente: 2do. Medio - Gonzalo Riera.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.
CMO: Regla de Laplace.

Desafío - Funciones


Respuesta:

Alternativa A)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Funciones.

sábado, 26 de marzo de 2011

Desafío - Potencias



Respuesta: En potencias siempre hay varias formas de enfrentar un ejercicio. En este caso veamos 2 de ellas:

1)

2)
Entonces, la alternativa D) es la correcta !!!!!

Fuente: Taller Matemáticas - 8avo. - Santillana Bicentenario
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: Potencias. Propiedades Potencias.

Desafío - Decrecimiento Exponencial


Respuesta:
Veamos un ejemplo:

y(x) = f(x) = (1,25) elevado a (-x)

K = 1
B = 1,25
u = -1


Alternativa D)

Análisis: Ahora fíjese que una función de decrecimiento exponencial corta al eje de ordenadas en K (0,K) o en (0,1) para el caso dibujado. Eso no se ve en la alternativa D) .... aunque el dibujo no está completo, y además en la pregunta dice "podría representar"....

Fuente: Taller Matemáticas - 8avo. - Santillana Bicentenario
NEM: Cuarto Medio (previo al ajuste curricular)
Eje Temático: I. Álgabra y Funciones.
CMO: Decrecimiento Exponencial.

Desafío - Probabilidad

¿ Cuál de las siguientes alternativas es falsa ?

A) Un experimento aleatorio tiene como propiedad principal que su resultado no se puede predecir, existiendo un conjunto de resultados posibles.
B) El valor de la probabilidad de un evento varía de cero a uno.
C) La probabilidad de un evento, en porcentaje tiene como valor mínimo 0% y cómo máximo 100%.
D) La probabilidad de un evento, es igual al número de casos favorables del evento dividido por el número de casos no favorables.
E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta: veamos una a una las expresiones:

A) Esa es la definición de Experimento Aleatorio. VERDADERA!
B) Esos son los límites de la probabilidad, el intervalo: {0,1} incluidos extremos. VERDADERA!
C) Lo mismo que en B), los límites porcentuales de la probabilidad: {0%, 100%}. VERDADERA!
D) FALSA.

Lo que es verdadero es esto:

Probabilidad Clásica: Si en un experimento aleatorio, todos los resultados son equiprobables (igual probabilidad), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente probable que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces la probabilidad de un evento A es la razón:

P(A) = {Número de casos favorables para A}/{Número Total de casos posible}

E) Esta ya no sirve porque la anterior es la FALSA buscada!

Alternativa D)

Fuente: Taller Matemáticas - 8avo. - Santillana Bicentenario.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas
CMO: Probabilidad. Conceptos Básicos Probabilidad.

Desafío - Patrón de Formación

Respuesta:
Alternativa C)

La imagen final se forma con giros solamente, no son necesarias traslaciones.

Fuente: Taller Matemáticas - 8avo. Santillana - Bicentenario
NEM: Primero Medio (Curriculum antiguo PSU)
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Transformaciones Isométricas.

viernes, 25 de marzo de 2011

Desafío - Función Cuadrática


Respuesta:
Alternativa E)

Fuente: Santillana 3ro. Medio.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Función Cuadrática


Respuesta:

La fórmula del vértice es un par ordenado (Xv,Yv) donde la abcisa es Xv=-b/2a, y está escrita en términos de los coeficientes (numéricos) de la ecuación cuadrática. La ordenada se obtiene evaluando la abcisa en la parábola (en su ecuación), es decir: Yv= f(Xv) = f(-b/2a).

Acá:
a = 2 ; b=0 ; c= -1
luego,

Xv = -0/((2)(2)) = 0/4=0
Yv = f(Xv) = f(0) = -1

Luego, el vértice de la parábola es: (Xv, Yv) = (0,-1) ; Alternativa B)

Fuente: Santillana 3ro. Medio.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Función Cuadrática


Respuesta: El coeficiente "a" de la función debe ser positivo, porque las ramas de la parábola se abren hacia arriba. Esto descarta las alternativas A) y D), donde "a" es negativo, en ambos casos es igual a ( - 4 ).

Si ahora miramos el grafo, Y-Intercepto es ( - 3). Por lo que "c" en la función correcta debería ser ( -3 ). Como el término libre en la alternativa B) es justamente (-3), esta es la alternativa correcta. En las alternativas C) y E) al término libre es (+3).

Alternativa B)

Fuente: Santillana 3ro. Medio.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Función Cuadrática.

jueves, 24 de marzo de 2011

Desafío - Espacio Muestral


Una moneda de $ 10, una de $ 50, una de $ 100 y una de $ 500, se lanzan al aire y se observan los sellos y caras que aparecen. ¿ Cuántos resultados posibles tiene este experimento ?

A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
E) 64

Respuesta:

Primer razonamiento: Cada moneda introduce 2 posibilidades, y por el principio multiplicativo, tendremos entonces: 2 x 2 x 2 x 2 = 2 elevado a la cuarta = 16. Alternativa C)

Segundo razonamiento: Ver el Diagrama de Árbol, donde queda explícitamente que las posibilidades de este Espacio Muestral son 16:

Alternativa C)

Fuente: Santillana - 3ro. Medio.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Espacio Muestral. Diagrama de Árbol.

Desafío - Técnicas de Conteo

Un candidato a la presidencia desea visitar 8 ciudades. ¿ De cuantas formas puede ordenar las tres primeras visitas ?

A) 3! ; B) 8 ; C) 56 ; D) 336 ; E) 8!

Respuesta:

Primera forma de razonar: en la primera visita puedo escoger entre 8 ciudades, en la segunda sólo entre 7 (pues ya visité una antes) y en la tercera visita entre 6. por el principio multiplicativo puedo organizar esta visita de 8 x 7 x 6 = 336 formas.

Segunda forma de razonar: Este es claramente un ejercicio de Permutaciones. Se deben permutar 8 ciudades sobre 3, es decir:

P(8,3) = 8!/(8-3)! = 8!/5! = (8 x 7 x 6 x 5!)/5! = 8 x 7 x 6 = 336 formas.

Alternativa D)

Fuente: Santillana - 3ro. Medio.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III) Probabilidad y Estadística.
CMO: Técnicas de Conteo.

Desafío - Probabilidad

Se lanza un dado 3.000 veces. El número de veces en que aparece un número par mayor que 3 se puede estimar en:

A) 500
B) 1.000
C) 1.500
D) 2.000
E) Ninguna de las Anteriores.

Respuesta:

La Probabilidad Teórica de que al lanzar un dado aparezca un número PAR mayor que 3, es 2 de 6 posibilidades (que aparezca el 4 o el 6) ....

Al repetir un experimento muchas veces (3.000 veces), la probabilidad experimental se va a ir acercando a la teórica .... luego es altamente probable que 1.000 de las veces aparezca un número PAR mayor que 3.

Alternativa B)

Fuente: Santillana 3ro. Medio.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III: Probabilidad y Estadística.
CMO: Ley de los Grandes Números.

Desafío - Probabilidad

¿ Cuál es la probabilidad de obtener un trébol o un as cuando escojo aleatoriamente una carta de una baraja de naipe inglés?

A) 9/52
B) 10/52
C) 12/52
D) 16/52
E) 17/52

Respuesta: Como lo sucesos: A: "obtener un trébol" y B: "obtener un as" NO son mutuamente excluyentes, procedemos como sigue:

P(obtener un trébol ó un as) =
= P(obtener un trébol) + P(obtener un as) - P(obtener un trébol Y un as)

P(obtener un trébol)=13/52
P(obtener un as)=4/52
P(obtener un trébol Y un as)=1/52

P(obtener un trébol ó un as) = 13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52 ; Alternativa D)

Fuente: Santillana 3ro. Medio.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III: Probabilidad y Estadística.
CMO: Probabilidad de la Unión de 2 sucesos NO mutuamente excluyentes.

Desafío - Potencias


Respuesta:

Fuente: Taller Santillana - Bicentenario - 1ro. Medio
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: Potencias

miércoles, 23 de marzo de 2011

Desafío - Inecuación

Respuesta:
Alternativa B)

Fuente: CEPECH 2009
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO. Inecuaciones.

Desafío - Polígono

Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 900º, ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en dicho polígono?

A) 4 ; B) 5 ; C) 14 ; D) 18 ; E) 28

Respuesta: la suma de los ángulos interiores de un polígono (de n lados) posee por fórmula: (n - 2)180

(n -2) 180 = 900
(n -2) = 900/180 = 90/18 = 10/2 = 5
n -2 = 5
n = 5 + 2
n = 7, luego el polígono posee 7 lados.

El número de diagonales de un polígono de n lados es:

n(n-3)/2, luego para n=7 tendremos: 7(7 - 3)/2 = 7(4)/2 = 14, Alternativa C)

Fuente: CEPECH 2009
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Polígonos. Geometría Básica.

Desafío - Semejanza

¿ En cuál(es) de los siguientes casos se puede afirmar que dos triángulos son semejantes ?

I) Cuando son triángulos rectángulos de distinto tamaño.
II) Cuando son triángulos isósceles de distinto tamaño.
III) Cuando son triángulos equiláteros de distinto tamaño.

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I y III

Respuesta: Siempre los triángulos equiláteros son semejantes y ello porque cualquier triángulo equilátero tiene 3 ángulos de 60º, luego, bastando que 2 triángulos posean 2 ángulos iguales, para ser semjantes (AA), TODOS los triángulos equiláteros SON semejantes .... pero esto no pasa con los triángulos isósceles y rectángulos, comprobación de ello está en las siguientes figuras:

Alternativa C)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Semejanza.

Desafío - Perímetro


Si un sitio rectangular tiene un área de 448 metros cuadrados y el largo mide 4 metros más que el doble de su ancho, su perímetro es:

A) 14 m ; B) 32 m ; C) 46 m ; D) 92 m ; Faltan datos.

Respuesta: Llamaremos "A" al ancho, expresaremos el largo en términos del ancho y luego construiremos una ecuación cuadrática en torno al área .... de allí lograremos el valor del ancho y por consiguiente el del largo .... veamos:


Alternativa D), el perímetro es 92!

Fuente: Santillana 3ro. Medio.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Ecuación Cuadrática.

martes, 22 de marzo de 2011

Desafío - Volumen en rotación

Respuesta: Lo que se genera es un cono, veamos mediante un dibujo:

Alternativa B)

Fuente: PSU 4to. Medio - Mare Nostrum/P.Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. geometría.
CMO: Voluemn en Rotación.

Desafío - Área Total de Paralelepípedo


¿Cuál es el área de la superficie total del paralelepípedo rectangular de la siguiente figura?

A) 48 ; B) 52 ; C) 64 ; D) 88 ; E) 96

Respuesta: 2 caras de (2 x 4) + 2 caras de /2 x 6) + 2 caras de (6 x 4)

Área Total: 2(2x4) + 2(2x6) + 2(6x4) = 2(8) + 2(12) + 2(24) = 16 + 24 + 48 = 88

Alternativa D)

Fuente: Mare Nostrum - Pedro Valdivia - PSU 4to. Medio
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Volumen de Paralelpípedo.

Desafío - Logaritmos

Respuesta:
Alternativa B)

Fuente: Mare Nostrum - Pedro de Valdivia
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Logaritmos

Desafío - Fracciones Algebraicas



¿Cuál de las anteriores fracciones son iguales a 1?
A) Sólo I
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II, III

Respuesta: Ordenemos (conmutar en I)), desarrollemos (la suma por diferencia en II)), comprimamos (el denominador en III)) según corresponda en cada una de las fracciones algebraicas:

I y III verdaderas, Alternativa C)

Fuente: DEMRE
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: Álgebra y Funciones.
CMO: Expresiones algebraicas simples.

lunes, 21 de marzo de 2011

Desafío - Función



¿ Cuánto vale la anterior función cuando x = -2,2 ?

A) -1,2
B) -0,8
C) -0,2
D) 0,2
E) 0,8

Respuesta:

Alternativa D)

Fuente: Texto 2do. Medio - Eduardo Cid Figueroa.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: Funciones.
CMO: Funciones.

Desafío - Fracción con raíces


Respuesta: La respuesta es la alternativa C) .... una forma de hacerlo sin usar racionalización:

Y ¿cómo se hace con racionalización?

Fuente: Santillana 2do. Medio - Bicentenario
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. álgebra y Funciones.
CMO: Raíces, Racionalización.