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A la fecha llevamos más de 3.470 ejercicios resueltos.

Al comienzo de este blog econtrarás algunos ejercicios PROPUESTOS que iré resolviendo en los próximos días.

Si avanzas hacia abajo en el blog, encontrarás el vínculo: "entradas antiguas", haz click sobre él y te llevará a revisar otro set de ejercicios resueltos de anterior data, hasta completar los más de 3.400 ejercicios resueltos,

¡anímate!

sábado, 29 de octubre de 2011

Desafío - Volumen

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¿ Cuál es el volumen que se genera al hacer rotar la figura achurada, en rorno a la recta L ?

Respuesta: Al girar en torno a la recta L se generan 2 cilindros.

Cilindro MAYOR : Radio 2, Altura 3.(A Sumar)
Cilindro menor : Radio 1, Altura 1. (A Restar)


Alternativa B)

Fuente: Mini-ensayo La Nación/Educar Chile 2008
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Geometría. Geometría Espacial. Volumen en Rotación.

Desafío - Ecuación Logarítmica

El conjunto de soluciones de la ecuación logarítmica es:

log(x+6)=2logx

A) {3}
B) {-2}
C) {2}
D) {3,-2}
E) Vacío, no hay soluciones.

Respuesta:


Alternativa A)

Fuente: Mini-ensayo La Nación/Educar Chile 2008
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Logaritmos.

Desafío - Ecuación Exponencial

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El conjunto de soluciones de la ecuación anterior es:

A) {-3} ; B) {1} ; C) {3} ; D) {1,3} ; E) {-3,1}

Respuesta:

Alternativa E)

Fuente: Mini-ensayo La Nación/Educar Chile 2008
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Ecuación Exponencial.

Desafío - Logaritmos

Respuesta:

Alternativa E)

Fuente: Mini-ensayo La Nación/Educar Chile 2008
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático:
CMO:

viernes, 28 de octubre de 2011

Desafío - Logaritmos


Respuesta:

Alternativa E)

Fuente: Material PreU. P.Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Logaritmos.

Desafío - Ecuación de 2do. Grado

Respuesta:

Echa un ojo en:
Suma y Producto Raíces Ecuación Cuadrática

Alternativa A)

Fuente: Material PSU ;atemáticas - PreU P.Valdivia (Gracias!)
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Ecuación Segundo Grado.

Desafío - Fracciones


La fracción correspondiente al número decimal 1,34444444444...... es

A) 134/99
B) 121/900
C) 121/99
D) 134/90
E) 121/90

Respuesta:

En forma MECÁNICA diríamos:


En palabras: Para convertir una Decimal Infinito Semiperiódico a Fracción, constrúyase una fracción:

Cuyo Numerador sea las cifras de la parte entera seguida de las cifras del periodo menos las cifras de la parte entera

Y un Denominador que tenga tantos nueves como cifras tenga el período y tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

(134 - 13) / (90) = 121 / 90

Alternativa E)

Solución Alternativa:
En forma PENSADA hacemos:

x = 1,344444 ..... (Multiplicamos por 100 y luego por 10)
100x = 134,4444....
10x = 13,44444 ....

Restamos 100x - 10x = 90x

100x - 10x = 90x = 134,4444 .... - 13,44444 ....

90x = 134 - 13
x = (134 - 13)/90 = 121/90 

Fuente: El Mercurio - 28/10/2011
NEM: Primero Medio
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: Conjunto Q.

Desafío - Proporcionalidad


Respuesta:

Si son directamente proporcionales los Hombres (H) y las mujeres (M), su cuociente es una constante:

(H/M) = Kte.
Para el caso dado podemos calcular Kte.

(H/M) = (24/36) = Kte. = 2/3

Luego, para 108 mujeres:

H/108 = 2/3, Luego Multiplicamos cruzado:

3H = (108)(2) ; implica H = 72 ; Alternativa E)

Fuente: El Mercurio - 28/10/2011
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: Proporcionalidad. Directa Proporcionalidad.

Desafío - Lenguaje Algebraico


Respuesta:

Llamamos "n" al número ....
El doble de un número = 2n
Aumentar ese doble en 5 = 2n + 5

Alternativa D)

Fuente: El Mercurio - 28/10/2011
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.
CMO: Lenguaje Algebraico.

Desafío - Rombo

Respuesta:

El área de un rombo es el producto de sus dos diagonales,
VER LINK: Area de Rombo en función de sus DIAGONALES

Area Rombo = (7 cm)(8 cm)/2 = 28 centímetros cuadrados; alternativa B)

(Nota: Gracias al comentario que me ayudó a corregir)

Fuente: El Mercurio - 28/10/2011
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III: Geometría.
CMO: Geometría Básica.

jueves, 27 de octubre de 2011

Desafío - Ecuaciones

En una caja hay al menos 1 billete de cada uno de los siguientes valores: $ 1.000, $ 2.000, $ 5.000 y $ 10.000. Se sabe que hay tantos billetes de 1.000 pesos como billetes de 5.000 pesos. Se sabe que hay tanta plata en billetes de 1.000 pesos como en billetes de 2.000 pesos. La totalidad de billetes suma 24.000 pesos.

¿ Cuáles de las siguientes alternativas son verdaderas ?

I) Hay 6 billetes en total.
II) Hay tanta plata en billetes de a 5.000 como en billetes de 10.000.
III) Hay tantos billetes de 5.000 como de a 1.000 pesos.

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II, III

Respuesta: Llamaremos:


n1 : a la cantidad de billetes de 1.000
n2 : a la cantidad de billetes de 2.000
n5 : a la cantidad de billetes de 5.000
n10 : a la cantidad de billetes de 10.000


Sabemos que hay al menos uno de cada billete. Y que sólo puede haber 1 billete de 10.000, pues si hubiesen 2 de ellos, totalizarían 20.000 pesos y NO podría haber uno, al menos, de 5.000.


Luego: n10 = 1


Además, por el enunciado: 


a) n1 = n5 (Hay tantos billetes de 1.000 como de 5.000)
b) 1.000(n1) = 2.000(n2) (Hay tanta plata en billetes de 1.000 como de 2.000)
Simplificando b)
b') n1 = 2 n2


c) Y todos los billetes deben totalizar 24.000:


1.000n1 + 2.000(n2) + 5.000(n5) + 10.000(1) = 24.000
dividiendo por 1.000 toda la ecuación (a ambos lados)
n1 + 2(n2) + 5(n5) = 24 - 10 = 14


Ponemos todo en función de n1:


n1+ n1 + 5(n1) = 14
7(n1) = 14
n1 = 2


Luego: 


n1 = 2
n2 = 1
n5 = 2
n10=1


Así:


I) VERDADERA, hay 6 billetes: 2+1+2+1
II) VERDADERA: 10.000 en ambos tipos de billetes.
III) VERDADERA, hay 2 billetes de 1.000 y dos de 5.000.


I, II, III Verdaderas, Alternativa E)

Fuente: Modificación personal de ejercicio del PreU. U. Chile
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.
CMO: Ecuaciones.

Desafío - Ángulos


Respuesta:


Alternativa A)

Fuente: CEPECH
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Geometría Básica. Ángulos
Respuesta:

Alternativa C) es la correcta, entonces!

Fuente: CEPECH
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Geometría Básica. Área de Región.

Desafío - Porcentaje



Respuesta:

Alternativa E)

Fuente: CEPECH
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: Porcentaje

Desafío - Raíces

Respuesta:

Fuente: Creación Personal.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Raíces.

miércoles, 26 de octubre de 2011

Desafío - Estadística Descriptiva

Las notas de Andrea en Matemáticas son: 5,9 ; 4,5 ; 6,2 ; 6,2. ¿ Qué nota debe obtener Andrea en su quinta prueba para que su promedio final en Matemáticas sea 5,9 ?

A) 6,2 ; B) 6,3 ; C) 6,4 ; D) 6,7 ; E) 7,0

Respuesta:
Alternativa D)

Fuente: Cepech - Programa Focalizado
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Estadística Descriptiva - Estadígrafos.

Desafío - Probabilidad

Si se lanza un dado, ¿ Cuál es la probabilidad de que salga un número menor o igual a 4 o un número impar ?

A) 2/6 ; B) 3/6 ; C) 4/6 ; D) 5/6 ; E) 7/6

Respuesta:

Menores o iguales a 4 son: 1,2,3,4
Impares son: 1,3,5

Luego: (Menores o Iguales a 4 U Impares) = 1, 2, 3, 4, 5
= 5 casos de 6

Respuesta: 5/6, Alternativa D)

========================
Otra Forma de verlo - Mira el LINK:
Probabilidad de la Unión de 2 sucesos No mutuamente excluyentes
Probabilidad (Menores o Iguales a 4 ó Impares) =
= P(Menores o Iguales que 4) + P(Impares) - P(Menores o Iguales a 4 Y Impares)
= 4/6 + 3/6 - 2/6 = 5/6

Fuente: Matemática - Programa Focalizado Cepech
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Regla de Laplace.

Desafío - Raíces


Respuesta: Nunca olvidar que el desarrollo de un "Cuadrado de Binomio" incluye 3 términos:

Ver en link : Cuadrado de Binomio - Fórmula

Esta resolución es del Blog http://psu-matematicas.blogspot.com

Entonces la alternativa correcta es D)

Fuente: Creación Personal
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Raíces.

Desafío - Probabilidad

Si se tira una moneda 1.000 veces, ¿ Cuántas veces sale cara ?

A) 500 veces
B) 25 veces
C) 75 veces
D) Cerca de 500 veces
E) Siempre más de 500 veces

Respuesta:

Por la Ley de los Grandes Números, la probabilidad experimental (o a posteriori) debe acercarse a la probabilidad a priori o teórica en la medida que el número de experimentaciones crece.


Por esta misma Ley, la de los Grandes Números, cerca de la mitad debería salir cara, aunque esto no es una obligación.


Alternativa D)

Fuente: Edo. Cid Figueroa - Texto PSU Matemáticas.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Ley de los Grandes Números.

Desafío - Pendiente de la Recta



La pendiente de la recta de la figura es:

A) 4
B) 5
C) 5/4
D) -5/4
E) -4/5

Respuesta:

Respuesta 1) Podemos identificar 2 puntos: (0,5) y (4,0), luego usamos la fórmula para pendiente de una recta:

Respuesta 2)

La Pendiente es una tasa de cambio que se define como:

Fuente: Edo. Cid Figueroa - Texto PSU Matemáticas.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Geometría Analítica.

Desafío - Ecuación de la Recta

Se puede determinar la ecuación de una recta si se sabe:

(1) Su pendiente.
(2) Su intersección con el eje de las x

A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.

Respuesta: Al conocer la pendiente y el punto de intersección con el eje de abcisas (eje de las x), tenemos suficiente para poder desarrollar la ecuación de la recta: PUNTO-PENDIENTE.

Ambas juntas son necesarias y suficientes, Alternativa C)

Fuente: Edo. Cid Figueroa - Texto PSU Matemáticas.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Geometría Analítica.

Desafío - Rectas

Sean las tres rectas:
R1: x - 2y + 1 = 0
R2: 2x + y - 3 = 0
R3: -2x + 4y -3 = 0

¿ Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas ?

I) R1 es perpendicular a R2
II) R2 es perpendicular a R3
III) R1 es paralela a R2

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) Sólo III

Respuesta: tendremos que poner cada una de las recta acorde a la ecuación principal: y = mx + n

R1: y = (1/2)x + 1/2
R2: y = 2x - 3
R3: y = (-1/2)x - 3/4

R2 es perpendicular a R3; Sólo II ; Alternativa B)

Fuente: Edo. Cid Figueroa - Texto PSU Matemáticas.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Geometría Analítica.

Desafío - Función Cuadrática


Respuesta: Tenemos 3 condiciones para encontrar la Función Cuadrática que depende de 3 parámetros: "a", "b" y "c". Veamos:

Pero nos pedían encontrar el mínimo, todavía falta un poco para esa respuesta:

Alternativa D)

Fuente: PreU. P. Valdivia.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: Tercreo Medio.
CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Función Cuadrática


Respuesta: Veremos las tres postulaciones a ser verdaderas:

I) VERDADERA: Si factoramos la Ecuación cuadrática asociada, para lograr las ra{ices tenemos:

t(8-t) = 0
arroja 2 raíces: t1=0 ; t2 = 8

II) FALSA: Acá basta evaluar la función en t=3:

h(3) = 8(3) - (3)(3) = 24 - 9 = 15

III) VERDADERA: La máxima altura se produce para la abcisa (t1+t2)/2 = (0+8)/2 = 4 seg.

I y III Verdaderas, Alternativa D)

Fuente: PreU. P. Valdivia.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: Tercreo Medio.
CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Función Cuadrática


Respuesta:

I) FALSA.

Vértice: { (x1+x2)/2 ; f((x1+x2)/2) }

x1 = -3 ; x2 = 4, luego: (x1+x2)/2 = (-3+4)/2 = 1/2
Luego, (0,12) no puede ser el vértice puesto que la abcisa debe ser 1/2.

II) VERDADERA

La Ecuación que lleva a esas raíces es: (x+3)(x-4) = 0

III) FALSA

Por la respuesta de I), el eje de simetría es: x = 1/2.

Fuente: PreU. P. Valdivia.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: Tercreo Medio.
CMO: Función Cuadrática.

martes, 25 de octubre de 2011

Desafío - Longitud de Diagonal

El pentágono ABCDE está formado por un cuadrado ABCE y un triángulo equilátero. Si el lado del cuadrado es "a", entonces la diagonal AD mide: ?

Respuesta: Recordamos que la altura de un triángulo equilátero de lado "a" es la mitad de ese lado multiplicada por (raíz de 3),

VER LINK: Altura de Triángulo Equilátero de lado "a"

Conocidas las dimensiones de los catetos del triángulo rectángulo recortado, acudimos al Teorema Particular de Pitágoras .... veamos ....

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Fuente: PCE - PreU. P. Valdivia.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Geometría Básica.

HOY .... Celebro !!!!


Desafío - Problema con Enunciado Verbal

La suma de un número con su tercera parte es igual a su diferencia con cuatro. ¿ Cuál es el número ?


A) 6 ; B) -6 ; C) 9 ; D) -9 ; E) -12


Respuesta:


Sea "x" el número, entonces el enunciado nos dice:


x + x/3 = x - 4


4x/3 - x = - 4


x/3 = - 4


x = -12


Alternativa E)


Fuente: PreU. U.Católica.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.
CMO: Problemas con enunciado.

Desafío - Problemas con Enunciado Verbal

En un triángulo isósceles el ángulo basal tiene 18° más que el ángulo menor. 
¿ Cuánto mide el ángulo exterior basal ?


A) 48° ; B) 66° ; C) 114° ; D) 132° ; E) 144°


Respuesta:


Chutas .... ja ja ja .... me equivoqué !!!! (Abrazos)






Alternativa C)


Fuente: PreU. U.Católica.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.
CMO: Problemas con enunciado.

Desafío - Problemas con Enunciado Verbal

La suma de tres números enteros impares consecutivos es 57. El producto entre el menor y el mayor es:


A) 195 ; B) 221 ; C) 323 ; D) 357 ; E) 399


Respuesta: 


Si el primer número impar es (2x+1), los otros serán: (2x+3) y (2x+5)




Alternativa D)


Fuente: PreU. U.Católica.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.
CMO: Problemas con enunciado.

Desafío - Problemas Enunciado

Las edades de un padre y su hijo son 45 y 9 años, respectivamente, ¿ dentro de cuántos años estarán en la razón de cinco es a dos ?


A) 8 ; B) 10 ; C) 13 ; D) 15 ; E) Nunca


Respuesta: Sea que en "x" años más se logra esa nueva razón ....


En "x" años más, el padre tendrá (45+x)
En "x" años más, el hijo tendrá (9+x)


En "x" años más la razón será: 




Alternativa D)


Fuente: PreU. U.Católica.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.
CMO: Problemas con enunciado.

lunes, 24 de octubre de 2011

Desafío - Trigonometría

Al factorizar COMPLETAMENTE la expresión siguiente, tendremos:


Respuesta:

Alternativa E), es cosa de ordenar mi respuesta un poquito, alternando los dos paréntesis !

Fuente: PreU. U.Católica.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: Geometría.
CMO: Trigonometría.

Desafío - Trigonometría

La expresión:
sen 60 cos 30 + sen 30 cos 60
tiene por valor: ?

A) 1 ; B) 1/2 ; C) 1/2 (raíz de 3) ; D) 3/4 ; E) 1/4

Respuesta: Mirar la fórmula de las razones trigonométricas para la suma de 2 ángulos:


La Expresión anterior corresponde a sen (60º+30º) = sen (90º) = 1

Alternativa A)

Fuente: PreU. U.Católica.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: Geometría.
CMO: Trigonometría.

Desafío - Semejanza

¿ Cuál de las siguientes afirmaciones NO es verdadera ?

A) Dos polígonos congruentes son siempre semejantes.
B) Dos triángulos equiláteros son siempre semejantes.
C) Dos cuadrados son siempre semejantes.
D) Dos círculos son siempre semejantes.
E) Dos ractángulos son siempre semejantes.

Respuesta: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma (y no necesariamente la misma área) .... Es por ello que dos figuras congruentes, obviamente son semejantes  .... miremos:

Pero 2 rectángulos NO necesariamente deben ser SEMEJANTES!

Alternativa E)

Fuente: PreU. U.Católica.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Semejanza.

Desafío - Suficiencia de Información

Podemos determinar el valor de (y-x) si sabemos que:

(1) Trazo ED es paralelo a trazo AB
(2) Trado CD = 14

A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicioanl.

Respuesta: Cada una por sí sola ....

Con (1) tenemos que el paralelismo nos asegura el Teorema de Thales y con ellos las proporciones que nos llevan a x e y.

Con (2) tenemos que x/21 = 10/15 .... o sea, 14/21 = 10/15 = 2/3, con lo que se da el recíproco del Teorema de Thales y nuevamente las rectas son paralelas y todo se puede calcular ....

Fuente: PreU. U. Católica.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Se requiere información adicional.

Desafío - Ecuación Exponencial





Respuesta: Calculemos el valor de "x" primeramente ....


Pero veamos ahora lo que realmente piden .....


Entonces, Alternativa C)

Fuente: PreU. U. Católica.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Ecuación Exponencial.