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A la fecha llevamos más de 3.470 ejercicios resueltos.

Al comienzo de este blog econtrarás algunos ejercicios PROPUESTOS que iré resolviendo en los próximos días.

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miércoles, 30 de noviembre de 2011

Desafío - Probabilidad

En un naipe de 52 cartas (13 picas, 13 corazones, 13 diamantes, 13 tréboles), ¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una pica, un corazón, un diamante, un trébol y nuevamente un corazón, en ese orden y sin reposición?


A) (13/52)(13/51)(13/50)(13/49)(12/48)
B) (13/52)4 + 12/48
C) (13/52)+(13/51)+(13/50)+(13/49)+(12/48)
D) (13/52)(13/52)(13/52)(13/52)(12/51)
E) (13/52)+(13/52)+(13/52)+(13/52)+(12/51)


Respuesta: Al sacar una pica, al inicio del experimento su probabilidad será de 13/52, al sacar luego un corazón (si ya sacamos una pica) es 13/51, luego (habiendo sacado una pica y un corazón) sacar un diamante tiene por probabilidad 13/50; más tarde sacar un trébol (habiendo sacado pica, corazón y dimate) es 13/39 y finalmente como ya habíamos sacado en corazón (en la secuencia pica, corazón, diamante y trébol) la probabilidad de trébol se disminuye a 12/48 .... todos estos sucesos son independiente, una vez que uno reduce el mazo previamente, la probabilidad pedida es:


(13/52)(13/51)(13/50)(13/49)(12/48) Alternativa A)

Fuente: Material PreU. P. Valdivia.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Probabilidad.

Desafío - Probabilidad Condicionada

Al lanzar al aire dos dados, uno a continuación de otro, de distintos colores, se observa que la suma de los números que aparecen es por lo menos 7. La probabilidad de que en el segundo dado aparezca un 4 es:


A) 4/21
B) 5/21
C) 6/21
D) 7/21
E) 8/21


Respuesta: Recordamos que esta probabilidad se puede hacer de dos formas:


Primera Forma: Reduciendo el Espacio Muestral:


Suma por lo menos 7:


Suman 7: (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)
Suman 8 : (2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2)
Suman 9 : (3,6) (4,5) (5,4) (6.3)
Suman 10 : (4,6) (5,5) (6,4)
Suman 11 : (5,6) (6,5)
Suma 12 : (6,6)

Este nuevo espacio muestral reducido tiene 21 elementos y los favorables son 4

P(Segundo dado arroja cuatro/suman al menos 7 los dos dados) = 4/21

Alternativa A)
====================
Segunda Forma: Usando Fómula de Probabilidad Condicional: ... ya viene ...


LLamamos A: en el segundo dado hay un 4
Llamamos B: la suma es por lo menos 7


Nuevamente Alternativa A)

Fuente: Material PreU. P. Valdivia.
NEM: Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: 

Desafío - Probabilidad

El disco de la figura está dividido en cuatro sectores iguales pintados de colores diferentes: azul, blanco, verde y rojo. Al hacer dos lanzamientos, ¿Cuál es la probabilidad de caer por lo menos una vez en el sector rojo?


A) 1/2
B) 1/4
C) 3/4
D) 3/8
E) 7/16


Respuesta: Cada uno de los 2 lanzamientos es independiente del otro, por tanto acá apareceran productos ...


Además hay tres tipos de posibilidad, que son mutuamente excluyentes: achuntar o acertar en ambos lanzamientos, acertar en el primero y no en el segundo y viceversa ....


P(pedida) = achuntar rojo en el primero y no en la segundo lanzamiento + achuntar en el segundo y no en el primer lanzamiento + achuntar en los dos lanzamientos.


P(pedida) = (1/4)(3/4) + ((3/4)(1/4) + (1/4)(1/4) = 3/16 + 3/16 + 1/16 = 7/16


Alternativa E)

Fuente: Material PreU. P. Valdivia.
NEM: Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: 

Desafío - Probabilidad

En una urna con fichas azules, blancas, rojas y verdes, la probabilidad de escoger una ficha azul o blanca es 0,4. Si en la urna hay 15 fichas de las cuales 7 son verdes, ¿Cuál es el número de fichas rojas?


A) 6 ; B) 5 ; C) 4 ; D) 2 ; E) 3


Respuesta: 


Llamemos A a las Azules.
Llamemos B a las Blancas.
Llamemos R a las Rojas.
Llamemos V a las Verdes.


P(A ó B) = 0,4 = (A+B)/15
Luego (A+B) = 6
Luego, complementariamente: R+V= 9
y si 7 son Verdes, entonces: V + R = 9; V=7 implica R = 2.


Alternativa D)

Fuente: Material PreU. P. Valdivia.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Espacio Muestral.

Desafío - Probabilidad

En un experimento aleatorio E, dos eventos A y B son complementarios si:


(1) Al unir los conjuntos A y B se obtiene el espacio muestrral.
(2) La intersección de A y B es vacía.


A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.


Respuesta: 


Ambas Condiciones son imprescindibles.


Sea el espacio muestral = {1,2,3,4,5,6} ; como al lanzar un dado.


Sea el suceso A = "sacar menor o igual a 3"
Sea el suceso B = "sacar mayor o igual a 3"


Si bien es cierto se cumple la primera condición (1), es decir A y B dan unidos el espacio muestral.


No se cumple la condición (2), es decir A intersectado con B es = {3}, no se cumple la condición (2).


A y B no son Complementarios.


C) Ambas juntas, es la respuesta correcta.

Fuente: Material PreU. P. Valdivia.
NEM: Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: 

viernes, 25 de noviembre de 2011

Desafío - Planteo de Ecuación

Mario contesta todas las preguntas de un exámen del tipo Verdadero-Falso, obteniendo un promedio de 6 puntos. Cada respuesta correcta tiene 7 puntos y cada respuesta incorrecta 0 puntos. Si Mario contestó bien las 20 primeras preguntas y de las restantes, contestó en forma incorrecta un tercio, ¿ Cuántas preguntas correctas tuvo en total?

A) 35 ; B) 30 ; C) 25 ; D) 15 ; E) 5

Respuesta:

Llamemos T al número total de preguntas.

Las correctas son: 20 + (2/3)(T-20)
Las incorrectas son = (1/3)(T-20)

El promedio ponderado es:

aLTERNATIVA b)

Fuente: PreU. P. Valdivia.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.
CMO: Planteo de Ecuación

Desafío - Estadísticas

Respuesta:

A) VERDADERA : Mayores a 40 Kg son: 12+10+8 = 30
B) VERDADERA : Es justo el valor intermedio entre 6 y 8.
C) VERDADERA : Menos que 50 Kg = 4 + 7 + 2 = 13
D) VERDADERA : Menos de 60 Kg = 12 + 4 + 7 + 2 = 25, por lo tanto hay por lo menos 20!
E) FALSA : Sumamos las frecuencias: 2+7+4+12+10+8 = 43 datos, NO 42

Fuente: Material PreU. P. Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Estadísticas. Medidas de Tendencia Central.

Desafío - Estadísticas

Respuesta:


A) La Moda es 18 años, 12 es su frecuencia: FALSA!


B) Para ver la mediana debemos hacer una tabla de frecuencias acumuladas:


ESTA es la VERDADERA !!!!


C) Por la anterior verdadera, esta es FALSA!

D) Debe de FALSA, porque ya la B) está bien. Pero veamos:

Media = (15x4+16x8+17x6+18x12+19x2+20x10)/(42) = (60+128+102+216+38+200)/42

Media = 17,71 y NO 17,5, como acá se plantea: FALSA !!!!


E) El Rango es (20 - 15) = 5: FALSA.

Fuente: Material PreU. P. Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Estadísticas. Medidas de Tendencia Central.

Desafío - Estadísticas


Respuesta: 


Revisamos una a una las proposiciones I), II) y III)


I) VERDADERA, la moda es estudiar derecho, el porcentaje 35% es el más grande.


II) VERDADERA: Publicidad o Derecho = (5% + 35%) = 40%


40% de 40 = (40/100)40 = 16


III) VERDADERA:  


Nota: estamos a la vista de dos agrupaciones de datos COMPLEMENTARIAS.


Ingeniería + Ingeniería Comercial + Medicina = 40 - ( Publicidad o Derecho)


Ingeniería + Ingeniería Comercial + Medicina = 40 - 16  24


I, II, III Verdaderas, Alternativa E) es la correcta!

Fuente: Material PreU. P. Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Estadísticas. Medidas de Tendencia Central.

Desafío - Estadísticas

Camila ha obtenido las siguientes notas: 5,6 ; 7,0 ; 6,1 ; 6,3. 
Si debe rendir su última prueba la cual es coeficiente dos, 
¿ Cuánto deber ser la nota, para que Camila obtenga un promedio final de 6,2 en matemática?


A) 6,0 ; B) 6,1 ; C) 6,2 ; D) 6,3 ; E) 6,4


Respuesta: Si a las cuatro notas sumamos una evaluación Coeficiente dos, tendremos 6 notas con las que promediar .... Veamos:






Alternativa B)

Fuente: Material PreU. P. Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Estadísticas. Medidas de Tendencia Central.

Desafío - Estadísticas

Un fabricante de pilas quiere conocer cuál es la duración media de sus productos; 
para ello toma una muestra de 100 pilas y estas dan un promedio de duración de 18 horas. 
¿ Cuál es la duración de la primera pila si la suma de las 99 restantes es 1.780 horas ?


A) 22 h
B) 20 h
C) 19 h
D) 18 h
E) 16 h


Respuesta: Llamaremos P1 a la primera Pila ....



Alternativa B)

Fuente: Material PreU. P. Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Estadísticas. Medidas de Tendencia Central.

Desafío - Estadísticas

¿ Cuál(es) de los siguientes métodos sirve(n) para recopilar información?


I) Entrevistas.
II) Encuestas.
III) Censos.


A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II, III


Respuesta: TODOS!


Alternativa E)

Fuente: Material PreU. P. Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Estadísticas. Medidas de Tendencia Central.

Desafío - Estadísticas

La tabla de arriba muestra la cantidad de televisores por casa que hay en un condominio de 20 casas. ¿ En cuántas casas hay menos de 4 televisores ?


A) 2 ; B) 4 ; C) 6 ; D) 10 ; E) 18


Respuesta:

Hay menos de 4 televisores cuando hay 3 televisores (en 6 casas) y cuando hay 2 televisores (en 4 casas). En total, esto sucede en 6 + 4 = 10 casas. Alternativa D)

Fuente: Material PreU. P. Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Estadísticas. Medidas de Tendencia Central.

Desafío - Estadísticas

¿ Cuál de las siguientes alternativas es FALSA ?


A) Una desviación estándar pequeña significa que los datos están concentrados muy cerca del promedio aritmético.
B) Una desviación estándar grande significa poca confianza en el promedio aritmético.
C) La desviación estándar siempre es positiva.
D) Dos muestras con igual número de datos y con el mismo promedio aritmético, tienen desviaciones estándares iguales.
E) La desviación estándar siempre se mide en las mismas unidades que los datos.


Respuesta: Vamos viendo una a una las alternativas:


LLamemos DE a la Desviación Estándar.


A) VERDADERA, si la DE es pequeña los datos están muy cercas del promedio.
B) VERDADERA, quiere decir que el promedio es parecido a pocos datos.
C) VERDADERA, es la raíz cuadrada de un número positivo.
D) FALSA:


Veamos dos Muestras:


Muestra (1) : { 5, 5, 5, 5 }
n (Nro. datos) = 4
Promedio = (5+5+5+5)/4=5
DE = 0 (Pues no hay diferencia con la media)


Muestra (2) : { 1, 1, 9, 9 }
n (Nro. Datos) = 4
Promedio = (1+1+9+9)/4 = 5
DE = 4


Veamos este cálculo:


Luego, dos muestras de igual tamaño y con el mismo promedio NO necesariamente poseen igual DE. 


E) VERDADERA: Las unidades de los datos van al cuadrado al interior de la raíz, 
luego al sacar la raíz queda, la unidad de la DE es la misma que la de los datos de la muestra.

Respuesta Correcta: D) ..... es la única FALSA !!!!

Fuente: Material PreU. P. Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Estadísticas. 

Desafío - Suficiencia de Información

Se puede determinar la razón entre los volúmenes de los cuerpos generados por los triángulos ABC y DEF de la figura, al hacerlos girar en torno a los ejes indicados si:


A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola.
E) Se requiere información adicional.


Respuesta: Veamos cada una de las alternativas (1) y (2) por sí solas:


(1), si los dos triángulos son congruentes, entonces la figura queda así:


(2), Con esta información, por Criterio LAA, los dos triángulos son CONGRUENTES, así es que asegurada esta congruencia, NUEVAMENTE podemos decir que esta información (2) nos da la fuerza para calcular la razón pedida.


Alternativa Correcta: D) Cada una por sí sola ....

Fuente: Material P.Valdivia (Con permiso, gracias!)
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Trigonometría.

Desafío - Medidas de Tendencia Central

Si en un conjunto par de datos, ordenados de menor a mayor calculamos el promedio entre los valores centrales, entonces lo obtenido es:


A) la media aritmética.
B) la mediana.
C) la moda.
D) el rango.
E) la desviación estándar.


Respuesta: 


Esta es la definición de MEDIANA 


para una muestra con datos en cantidad PAR


Alternativa B)

Fuente: Material PreU. P. Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Estadísticas. Medidas de Tendencia Central.

Desafío - Frecuencia Relativa

Un educando obtuvo las siguientes notas en matemáticas: 7,2,6,6,5,4,7,6,6 y 5. 
La frecunecia relativa de la nota 6 es:


A) 60% ; B) 40% ; C) 30% ; D) 20% ; E) 10%


Respuesta: Ordenemos:


2, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7 


Frecuencia Relativa de (6) = 4/10=40%


Alternativa B)


Fuente: Material PreU. P. Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Estadística. Frecuencia Relativa.

Desafío - Tipo de Variable

El peso de los pacientes de un consultorio médico es una variable:


I) Cuantitativa.
II) Discreta.
III) Continua.


A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III


Respuesta:


El peso ES una variable CUANTITATIVA pues los pesos son números reales. 


Y como no solamente toman valores enteros, NO ES una variable DISCRETA.


Como los pesos pueden tomar cualquier valor, entonces ES una variable CONTINUA.

I) y III) son Verdaderas, Alternativa E)

Fuente: Material PreU. P. Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Estadística. Tipo de Variables.

jueves, 24 de noviembre de 2011

Una Matemagia .... Estudiar pero también descansar ....

Desafío - Suficiencia de Información.

Se puede determinar el porcentaje de mujeres que son médicas en un país 
si se sabe que:


(1) El 52 % de la población del país son mujeres.
(2) El 0,5 % de la población son médicos.


A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.


Respuesta: Se requiere información adicional puesto que: 


SET de información que haría posible resolver el problema:


(i) Saber el total de la población y la proporción (o el %) de los médicos que son mujeres, 
con (2) estaríamos OK.


(ii) Saber el total de la población y que % de mujeres son médicos. 
con (1) estaríamos OK.


Como nada de eso está, Alternativa E)

Fuente: DEMRE
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: Porcentaje.

Desafío - Suficiencia de la Información.

En un grupo de 40 mujeres donde sólo hay viudas y casadas, 
se puede determinar el número de mujeres viudas si:


(1) La razón entre las casadas y las viudas es 5:3
(2) Las casadas son 25.


A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.

Respuesta: Cada una por si sola. Alternativa D)


Veamos,


Llamemos V a las viudas. Llamemos C a las casadas.


Del enunciado: V + C = 40


con (1) tenemos el sistema de 2x2:


(a) V + C = 40 (del enunciado)
(b) C/V=5/3


con (2) tenemos el sistema de 2x2:


(a) V + C = 40 (del enunciado)
(b) C = 25


Luego, con cada una de las expresiones (1) y (2) se puede si lo asociamos al enunciado.

Fuente: DEMRE
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Sistema de Ecuaciones.